Productos notables o identidades notables. Fórmulas. Ejercicios resueltos

A continuación te voy a explicar qué son los productos notables, también conocidos como identidades notables. Veremos las fórmulas de cada una de ellas y las aplicaremos mediante ejercicios resueltos paso a paso.

Te voy a explicar paso a paso las diferentes fórmulas de los productos notables, con ejemplos resueltos paso a paso, para que aprendas aplicarlas.

Si has llegado hasta aquí es porque quieres aprender a resolver algún ejercicio. ¿Has pensado en apuntarte a clases de matemáticas online?. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

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Qué son los productos notables o identidades notables

¿Qué son los productos notables?

Los productos notables, también llamadas identidades notables, son polinomios de dos términos (binomios) elevados al cuadrado, o el producto de dos binomios, como veremos más adelante, cuyo desarrollo siempre sigue las mismas reglas.

Multiplicar dos polinomios entre sí, si tienen más de tres términos, puede resultar muy tedioso y puedes invertir mucho tiempo en realizar la multiplicación. Las fórmulas de los productos notables, que te permitirán realizar la multiplicación directamente, sin tener que ir término a término.

Binomio al cuadrado

Para que te quede todo más claro, vamos a ver qué es eso de un binomio al cuadrado.

Como te he comentado antes, un binomio es un polinomio de dos términos, que pueden estar sumándose o restándose:

Podemos multiplicar estos binomios entre sí de tres formas distintas:

Una suma por una suma:

Una diferencia por una diferencia:

Y una suma por una diferencia:

Los dos primeros casos podemos ponerlos como binomios al cuadrado, ya que se está multiplicando el mismo binomio dos veces:

Fórmulas de los Productos notables

Aquí tienes un vídeo de cómo aplicar las fórmulas de los productos notables:

Y si sigues leyendo, lo tienes todo explicado más despacio.

Las fórmulas de los productos notables más importantes son: el cuadrado de una suma, el cuadrado de una resta y la suma por diferencia o diferencia de cuadrados.

Vamos a ver cada una de ellas:

Fórmula del Cuadrado de una Suma

Empezamos con la multiplicación de dos binomios en los que sus términos (iguales en ambos binomios) se están sumando:

Estamos multiplicando el mismo binomio dos veces, por tanto, lo podemos poner como el cuadrado de una suma:

Por otro lado, si multiplicamos los dos binomios nos queda:

Y reagrupando términos:

Este producto notable se lee: Cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo: 

El primero es «a» (el primer término del polinomio) y el segundo es «b» (el segundo término del polinomio):

Para aplicar esta fórmula sólo tienes que sustituir los términos del polinomio por a y b. Por ejemplo:

Se trata del cuadrado de una suma y vamos a aplicar su fórmula para no tener que realizar la multiplicación.

El primero es x y el segundo es 1. Entonces:

• Cuadrado del primero: x²
• El doble del primero por le segundo: 2.x.1
• Cuadrado del segundo: 1²

Hasta aquí ya has aplicado la fórmula. Ahora hay que operar dentro de cada término para simplificar, multiplicando números y resolviendo potencias:

Un grave error es no darse cuenta de que la expresión anterior es un producto notable y elevar al cuadrado cada término de forma incorrecta:

En la quinta lección del Curso de Potencias te explico con más detalle cómo resolver las sumas y restas de potencias y por qué no se pueden aplicar las propiedades de las potencias en esos casos.

Te recomiendo el curso si no te aclaras cuando operas con potencias y quieres aprender a dominarlas completamente sin dudar.

Fórmula del Cuadrado de una Resta o Cuadrado de una Diferencia

Ésta fórmula es muy similar a la anterior. Por eso debes tener mucho cuidado y no confundirlas, ya que sólo se diferencian en un signo.

En este caso, tenemos la multiplicación de dos binomios en los que sus términos (iguales en ambos binomios) se están restando:

Esta multiplicación, podemos ponerla como el cuadrado de una resta:

Si realizamos la multiplicación de los binomios, nos queda:

Por lo que llegamos a la conclusión de que el cuadrado de una diferencia siempre es igual a:

Se lee así: Cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Igual que en el caso anterior, el primero es «a» (el primer término del polinomio) y el segundo es «b» (el segundo término del polinomio):

Para aplicar esta fórmula sólo tienes que sustituir los términos del polinomio por a y b.

Por ejemplo:

Aplicamos la fórmula del cuadrado de una resta:

• Cuadrado del primero: 2²
• El doble del primero por el segundo: 2.2.x
• Cuadrado del segundo: x²

Tanto el cuadrado de una suma como el cuadrado de una resta se pueden utilizar para factorizar polinomios, aplicados a la inversa, es decir, a partir del desarrollo, obteniendo el producto notable.

Fórmula de Suma por Diferencia: Diferencia de Cuadrados

La tercera de las fórmulas que vamos a ver es para hallar directamente el resultado de una suma por diferencia de binomios:

Si desarrollamos su multiplicación nos queda:

Por tanto, la suma por diferencia será igual a:

Esta fórmula es muy útil en la factorización de polinomios y en la simplificación de fracciones algebraicas cuando tenemos la resta de dos términos al cuadrado.

Vamos a ver un ejemplo de cómo aplicar esta fórmula:

El primero es x y el segundo es 1, entonces:

• El cuadrado del primero es: x²
• El cuadrado del segundo: 1²=1

Por tanto, la diferencia de cuadrados queda:

En ocasiones, como a la hora de factorizar polinomio, esta fórmula es muy útil aplicada en el sentido contrario. Por ejemplo:

Lo que tenemos que identificar en polinomios de este tipo es si se trata o no de una diferencia de cuadrados. A simple vista parece que no porque el primer término no está elevado al cuadrado, pero el 25 podemos ponerlo como 5²:

Y ahora se ve más claro que sí que se trata de una diferencia de cuadrados. Por tanto, podemos ponerlo como una suma por diferencia:

A tener en cuenta con la fórmulas de productos notables

Otra cosa que tienes que tener en cuenta es que el primer y el segundo término no tienen por qué estar formados por un sólo factor. Cada término puede estar formado por varios factores, como por ejemplo:

En ese caso, ten mucho cuidado y no te olvides de elevar todo el término al cuadrado, con la aplicación de la propiedad de la potencia correspondiente.

Cubo de una suma

El cubo de una suma se resuelve con la siguiente fórmula:

Vamos a ver un ejemplo:

En este caso, sustituimos 3x³ por «a» y 2x por «b»:

Operamos para resolver los paréntesis, aplicando las propiedades de las potencias:

Finalmente multiplicamos factores y potencias en cada término:

Cubo de una diferencia

Vamos a ver ahora cómo resolver el cubo de una diferencia. En este caso se aplica la siguiente fórmula:

Es muy similar a la del cubo de una suma, pero ésta tiene dos signos menos en el segundo y en el cuarto término.

Por ejemplo:

En este caso «a» es 4x² y «b» es 7x. Sustituimos «a» y «b» por sus valores en la fórmula:

Primero resolvemos los paréntesis:

Y por último multiplicamos factores y potencias en cada término:

Trinomio al cuadrado

Un trinomio es un polinomio de tres términos. La fórmula para resolver el cuadrado de un trinomio es:

Por ejemplo:

Sustituimos «a», «b» y «c» por sus valores:

Y operamos para simplificar términos:

Ejemplos de productos notables con términos de varios factores

No siempre, el primer y el segundo término de un binomio tienen por qué estar formados por un sólo factor. Cada término puede estar formado por varios factores, como por ejemplo:

En estos casos, cuando eleves al cuadrado el primer y el segundo término, debes tener en cuenta esta propiedad de las potencias:

Que dice que la cuando tenemos una multiplicación elevada a un exponente, el resultado es igual a cada factor elevado a ese mismo exponente.

Vamos a resolver los productos notables anteriores para que te quede todo más claro:

En primer lugar, identificamos los términos: el primero es 2y y el segundo 3x.

Aplicamos la fórmula del cuadrado de una resta y queda:

Ahora es cuando al elevar al cuadrado varios factores hay que aplicar esta propiedad;

Y nos queda:

Por último, simplificamos términos, resolviendo potencias y multiplicando números:

Vamos con el segundo ejemplo:

Esta vez es el cuadrado de una suma. El primer término es 4x² y el segundo 5y.

Aplicamos la fórmula:

Esta vez, a la hora de elevar al cuadrado, dentro del primer término, tengo otro cuadrado, por tanto, recuerda que hay que multiplicar los exponentes:

Finalmente simplificamos cada término:

Vamos a ver un tercer ejemplo con una suma por diferencia:

Aplicamos su fórmula:

Resolvemos los cuadrados y simplificamos:

Ejercicios resueltos de productos notables

1 – Realiza las siguientes identidades notables:

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