Propiedades de las raíces y factores de un polinomio.

A continuación voy a explicar cómo podemos aprovecharnos de las propiedades de las raíces de un polinomio.

Las raíces de un polinomio tienen muchas propiedades que nos servirán de mucha ayuda para resolver ejercicios con polinomios, sobre todo para factorizar y poder simplificar los polinomios.

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Ahora vamos con las propiedades de las raíces de un polinomio :).

Propiedades de las raíces de un polinomio

Vamos a indicar cada una de las propiedades de las raíces de un polinomio y cómo podemos aplicarlas:

1 – Las raíces del polinomio son también divisores de su término independiente.

Por ejemplo, en el polinomio:propiedades de las raíces y factores de un polinomio

Las raíces o soluciones son: x = 2 y x = -4. Tanto el 2 como el -4 son divisores del 8

Esta propiedad puede servirnos para comprobar si las raíces obtenidas son correctas.

2 – Cada raíz del polinomio, x = a, puede escribirse en forma de binomio (x-a)

Si nos damos cuenta, si por ejemplo en la solución x = 2, colocamos todo en el primer miembro, nos queda:

x = 2 ⇒ x-2 = 0

Por eso, las soluciones pueden transformarse en ese binomio.

Siguiendo con el ejemplo del polinomio anterior, a cada solución le corresponderá un binomio:

  • x = 2 ⇒ (x-2)
  • x = -4 ⇒ (x-(-4) = (x+4)

Un polinomio tiene tantos binomios de la forma (x-a) como soluciones

Esta propiedad por sí sola nos vale para explicar las propiedades de las raíces de un polinomio que vienen a continuación.

3 – Un polinomio se puede escribir como el producto de todos sus binomios (x-a):

propiedades de las raíces de un polinomio

Si resolvemos la el polinomio en forma de binomios, veremos que tiene las mismas soluciones, por lo que el polinomio es equivalente:

(x-2)(x+4)=0

x-2 = 0 ⇒ x = 2

x+4 = 0 ⇒ x = -4

Ésta es la propiedad más importante ya que factorizar los polinomios, al poder expresarlos como producto de binomios.

4 – La suma de los grados de todos los binomios es igual al grado del polinomio original.

Nuestro polinomio de ejemplo, es de grado 2:

propiedades y raíces de polinomios

Se puede descomponer en dos binomios: (x-2) y (x+4), que ambos son de grado 1, que juntos suman el grado del polinomio original

5 – Si una de las raíces del polinomio es x = 0, el factor que le corresponde es x, ya que su binomio será x-0, es decir x.

Esto ocurre cuando el polinomio no tiene término independiente y por tanto podemos sacar factor común a la x.

Propiedad utilizada también a la hora de factorizar.

6 – Cuando un polinomio no puede expresarse en factores o en binomios, se le llama irreducible o primo.

Se nos presenta este caso cuando el polinomio no tiene soluciones reales, por ejemplo:

propiedades de los polinomios

Este polinomio no podría expresarse de ninguna otra forma, siendo irreducible.

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