Jerarquía de operaciones. Como resolver operaciones combinadas.

A continuación voy a explicarte qué es la jerarquía de operaciones para poder realizar operaciones combinadas con sumas, restas, multiplicaciones, paréntesis y potencias a la vez.

Vemos también cómo resolver operaciones combinadas con paréntesis y corchetes, además de explicarte cómo resolver operaciones combinadas con potencias  y raíces.

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Operaciones combinadas y la jerarquía de operaciones

Cuando hablamos de jerarquía de operaciones hablamos del orden en el que se deben realizar las operaciones en las expresiones matemáticas donde tenemos más de una operación, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias…, es decir, en operaciones combinadas

Dicho de otra forma, es la prioridad que tienen unas operaciones frente a otras a la hora de resolverlas, teniendo en cuenta su nivel dentro de la jerarquía

Cómo se resuelven las operaciones combinadas

Cuando tenemos expresiones donde se combinan operaciones, debemos empezar resolviendo las operaciones por el primer nivel, teniendo en cuenta las siguiente premisas:

  • No podemos mezclar operaciones de distinto nivel
  • El objetivo es reducir los niveles hasta llegar al más simple, que es donde sólo hay sumas y restas
  • Los paréntesis deben resolverse como si se trataran de expresiones individuales, por lo que debe aplicarse la jerarquía de operaciones independientemente del resto de la expresión.

Jerarquía de operaciones. Prioridad de operaciones matemáticas

Éste es el orden en el que deben realizarse las diferentes operaciones que pueden existir en una expresión matemática:

  1. Paréntesis, corchetes o llaves (se resuelven de dentro hacia afuera)
  2. Potencias y raíces
  3. Multiplicaciones y divisiones
  4. Sumas y restas

Más abajo te enseñaré como ir aplicando cada uno de los niveles de jerarquía de operaciones.

Ejercicios resueltos de operaciones combinadas

Veamos un ejemplo de cómo se resuelve las operaciones paso a paso teniendo en cuenta la jerarquía de operaciones

Jerarquía de operaciones combinadas con sumas y restas

Estas operaciones aunque no tienen mayor complicación, ya que todas las operaciones están al mismo nivel de la jerarquía. Solamente hay que operar y ya está:

jerarquía de operaciones

El objetivo es reducir las expresiones con operaciones en varios niveles hasta este nivel.

Jerarquía de operaciones combinadas con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones

Vamos a incorporar multiplicaciones y divisiones:

orden de operaciones matemáticas

Ahora hay que realizar primero multiplicaciones y divisiones, que están en un nivel superior en la jerarquía:

jerarquía de operaciones matemáticas

Y nos vuelve a queda solamente sumas y restas, como en el caso anterior:

jerarquía de operaciones potencias y raíces

Uno de los errores más comunes es resolver las ecuaciones de izquierda a derecha sin tener en cuenta la jerarquía de operaciones, es decir, mezclando las operaciones aunque no estén en el mismo nivel.

Si empezamos de izquierda a derecha empezaríamos sumando 9+3, que son 12, luego multiplicando 12.13 que son 156… nos llevaría a un resultado incorrecto. Vamos que no lo hagáis nunca

Jerarquía de operaciones combinadas con sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y potencias

Incorporamos en este caso una potencia:

jerarquia de operaciones

En este caso, debemos resolver la potencia primero para poder multiplicarlo por 13:

cual es la jerarquía de operaciones combinadas

prioridad división o multiplicación

Una vez eliminadas las potencias, nos encontramos en el caso anterior, así que se resuelve de la misma manera:

la jerarquía de operaciones

En este caso primero hemos resuelto la potencia, luego las multiplicaciones y divisiones y después sumas y restas. Vamos eliminando niveles.

Jerarquía de operaciones combinadas con sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y paréntesis

Ahora vamos a ver el caso de que tengamos un paréntesis y dentro del paréntesis tengamos potencias, multiplicaciones y divisiones y sumas y restas:

jerarquización de operaciones

Tenemos que resolver el paréntesis como si fuera una expresión a parte, o con otras palabras, aplicar la jerarquía de operaciones dentro del paréntesis y olvidarnos del resto:

operaciones con paréntesis corchetes y llaves

Hemos resuelto las potencias. El siguiente paso es resolver las multiplicaciones y divisiones dentro del paréntesis:

orden de operaciones definición

Ahora solo queda sumar dentro del paréntesis:

que se hace primero la suma o la multiplicación

Volvemos a tener multiplicaciones, sumas y restas, por lo que estamos como en el segundo apartado:

orden de operaciones ejemplos

En este caso, lo primero que hemos resuelto es el paréntesis, y una vez resuelto, seguimos resolviendo niveles del resto de la expresión, teniendo en cuenta la jerarquía de operaciones.

Jerarquía de operaciones combinadas con sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y paréntesis con potencias

En este caso vamos a añadir otro paréntesis con una potencia:

operaciones combinadas con potencias

Resolvemos primero el paréntesis con la potencia:

ley de la jerarquía matemáticas

Y ahora resolvemos la potencia que nos queda:

jerarquía de paréntesis corchetes y llaves

Ahora estamos en el mismo punto que en el apartado anterior, por lo que resolvemos igual:

prioridad en las operaciones matemáticas

operaciones combinadas con potencias

operaciones combinadas con paréntesis corchetes y llaves

JERARQUIA DE OPERACiONES 1

Vemos una vez más como hemos ido siguiendo la jerarquía de operaciones para ir resolviendo las operaciones combinadas.

Un truco es no tener prisa en resolver las operaciones y centrarnos únicamente en el nivel que queramos resolver, sin modificar el resto de la operación y sin saltarte pasos. De esta forma, se irá simplificando la expresión.

Operaciones combinadas con potencias y raíces

Las potencias y raíces se encuentran en el segundo nivel de la jerarquía de operaciones, por encima de las multiplicaciones y divisiones y por tanto deben resolverse antes que éstas.

No tienes que aprenderte en qué nivel está cada una de las operaciones, ya que el sentido común te dirá qué hacer, tal y como vamos a ver en este ejemplo:

operaciones combinadas con parentesis

En esta operación tenemos sumas, restas, multiplicaciones y potencias.

Vamos olvidarnos por un momento de la potencia. Sabemos, por la lección anterior, que antes de las sumas y restas hay que resolver multiplicaciones y divisiones.

Pero en este caso, no podemos realizar la multiplicación si antes no resolvemos la potencia. Es por eso, que las potencias y las raíces están un nivel por encima de las multiplicaciones y divisiones. ¿Ves por qué digo que es de sentido común?

Resolvemos por tanto, primero las potencias:

operaciones combinadas con potencias

como resolver operaciones combinadas

Nos ha quedado una operación con multiplicaciones, sumas y restas, por lo que resolvemos la multiplicación:

resolver operaciones combinadas

Y finalmente realizamos las sumas y restas:

ejercicios de operaciones combinadas con parentesis

Con las raíces ocurre exactamente lo mismo. Vamos a verlo con otro ejemplo:

operaciones combinadas con parentesis y corchetes

Tenemos una raíz dentro de una división, que no se puede realizar hasta que no se resuelva la raíz. Por tanto lo primero que hay que hacer es resolver la raíz:

resolver paréntesis

como resolver operaciones combinadas con parentesis

Ahora ya se puede realizar la división:

operaciones combinadas

Y finalmente las sumas y restas:

operaciones combinadas para resolver

No me voy a detener mucho más con las potencias y raíces. Como ves, antes que realizar ninguna multiplicación o división, debes resolver las potencias y las raíces, por estar en un nivel superior en la jerarquía de operaciones.

Si tienes alguna duda, sólo tienes que preguntármela.

Cómo resolver paréntesis

Vamos a ver ahora cómo eliminar los paréntesis en las operaciones. Esta vez me refiero a los paréntesis que encierran más de un término, ya que, como ya sabes, también existen los paréntesis que encierran los números negativos, que se ponen para no tener dos signos seguidos.

Vamos a empezar con un ejemplo muy sencillo:

como resolver parentesis corchetes y llaves en ejercicios matematicos

En este caso tenemos un paréntesis con 2 términos. Para eliminarlo, debemos operar dentro del paréntesis como si se tratara de una operación aislada. Realizamos la resta:

operaciones combinadas con corchetes

Nos ha quedado un paréntesis con un término. Por tanto, lo eliminamos siguiendo la regla de los signos y ya podemos terminar la operación:

como resolver ejercicios combinados

Cuando se opera dentro del paréntesis, también hay que tener en cuenta la jerarquía de operaciones. Vamos a verlo con este otro ejemplo:

resolver operaciones con parentesis

En primer lugar, tenemos que resolver el interior del paréntesis, pero en este caso, tenemos una multiplicación, que tendremos que resolver la primera:

como hacer operaciones combinadas

Seguimos con las sumas y restas dentro del paréntesis:

operaciones combinadas con potencias y parentesis

Y para terminar, eliminamos el paréntesis según el signo que tenga delante y terminamos la operación:

operaciones combinadas con paréntesis

Vamos a ver ahora este otro ejemplo, donde tenemos dos paréntesis:

operaciones combinadas con parentesis corchetes y llaves

Dentro de uno de ellos, tenemos una multiplicación, que pasamos a resolver, dejando el resto de la operación tal y como está:

operaciones con corchetes y parentesis

Ahora, realizamos las sumas y restas de cada uno de los paréntesis:

ejercicios combinados con parentesis

Eliminamos el paréntesis según el signo que lleven delante y terminamos la operación:

operaciones con parentesis

Seguimos con otro ejemplo, en el que el paréntesis está multiplicado por un número, es decir, forma parte de una multiplicación:

operaciones con parentesis y corchetes

El primer paso como siempre sería resolver el paréntesis:

operaciones combinadas con potencia

Y una vez resuelto, realizamos la multiplicación y posteriormente las sumas que nos queda:

como se resuelven las operaciones combinadas

De la misma forma, el paréntesis puede formar parte de una división:

pasos para resolver operaciones combinadas

Resolvemos primero el paréntesis:

operaciones combinadas con potencias ejercicios resueltos

Y seguimos con la división y para terminar con la resta:

como hacer operaciones combinadas con parentesis

También podemos tener dos paréntesis multiplicándose entre sí:

orden para resolver operaciones combinadas con parentesis

En este caso, al resolver cada paréntesis por separado, se nos queda una simple multiplicación:

como resolver parentesis

¿Vas captando el procedimiento? Al resolver los paréntesis en primer lugar, la operación se va simplificando y nos quedan expresiones en las que el siguiente paso es resolver primero multiplicaciones y divisiones y por último, sumas y restas.

Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

Vamos a aumentar un grado más la dificultad y vamos a ver ahora cuando tenemos paréntesis dentro de otros paréntesis o mejor dicho, paréntesis dentro de corchetes, ya que los paréntesis que encierran a otros paréntesis se llaman corchetes [].

En primer lugar, podemos tener corchetes cuando tenemos ya un número negativo encerrado entre paréntesis, como en esta operación:

operaciones combinadas con parentesis ejercicios resueltos

Si te das cuenta, en este caso, resolver el corchete es igual que resolver los paréntesis que hemos estado resolviendo hasta ahora. Resolvemos la suma:

ejemplos de operaciones combinadas con parentesis

Y ahora eliminamos el paréntesis teniendo en cuenta el signo que tiene delante y terminamos la operación:

operaciones combinadas potencias
Es algo más complicado, resolver corchetes, que dentro tengan paréntesis con más de un término. En estos casos, tenemos que empezar por resolver los paréntesis de dentro y los corchetes se convertirán en simples paréntesis.

Vamos a verlo con el siguiente ejemplo:

operaciones combinadas parentesis

En esta operación se necesitan los corchetes porque dentro tenemos paréntesis con más de un término que hay que resolver. Por tanto, el primer paso es resolver los paréntesis de dentro del corchete:

operaciones combinadas con parentesis y potencias

Ahora eliminamos los paréntesis (que simplemente se quitan porque son números positivos) y los corchetes se convierten en paréntesis, al no tener paréntesis dentro.

como resolver operaciones combinadas con parentesis corchetes y llaves

Nos queda ahora una operación con un paréntesis, que tenemos que resolver, empezando por la división que tiene dentro:

ejercicios de operaciones combinadas para resolver

Resolvemos el paréntesis:

calculos combinados con parentesis

Y finalmente, eliminamos el paréntesis y realizamos la resta:

como resolver calculos combinados

Vamos a ver otro ejemplo de cómo resolver operaciones combinadas con paréntesis y corchetes:

operaciones con parentesis corchetes y llaves

Esta operación tiene más de un camino para resolverse. Puedes probar a hacerla por tu cuenta y comprobar después si tu resultado es el mismo

Yo voy a empezar resolviendo el paréntesis que está dentro de los corchetes:

operaciones combinadas con corchetes y parentesis

Al resolver el paréntesis (que da un número positivo) los corchetes se han convertido en paréntesis.

Ahora voy a realizar la multiplicación del segundo paréntesis:

eliminacion de parentesis ejercicios resueltos

Resolvemos los paréntesis:

ejercicios de operaciones combinadas

Por último eliminamos paréntesis y realizamos las sumas resultantes:

ejercicios combinados con llaves corchetes y parentesis

Un último ejemplo para terminar:

resuelve paso a paso las operaciones de cada parentesis

Resolvemos los paréntesis que hay dentro de los corchetes:

como se resuelve una operacion combinada

Resolvemos el paréntesis con dos términos y realizamos la división:

cómo resolver operaciones combinadas

Si te das cuenta siempre es el mismo procedimiento. Para resolver los corchetes, antes debemos resolver los paréntesis que tienen dentro. Después poco a poco, vamos simplificando y resolviendo niveles de la jerarquía de operaciones.

Posibilidades hay infinitas. Sólo tienes que seguir el orden establecido por la jerarquía de operaciones e ir simplificando paso por paso.

Para aprender necesitas practicar, equivocarte y aprender de tus errores.

Así que ahora te animo a que intentes resolver estas operaciones propuestas.

Ejercicios propuestos de operaciones combinadas con paréntesis y potencias

Resuelve las siguientes operaciones:

ejemplos de operaciones combinadas

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