A continuación te voy a explicar cómo simplificar las expresiones trigonométricas, paso a paso, con ejercicios resueltos, que también te servirán para demostrar si se cumple la igualdad en ciertas expresiones.
Para ello es necesario que conozcas y que domines tanto la ecuación fundamental de la trigonometría, como otras fórmulas donde se relacionan razones trigonométricas, además de los productos notables. Lo iremos viendo a lo largo de esta lección.
Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver y necesitas clases de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.
Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
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Ejercicios de simplificar expresiones trigonométricas
Como regla general, el primer paso para simplificar una expresión trigonométrica es que aparezcan solo senos y cosenos. Esto lo consigues utilizando las fórmulas que relacionan las distintas razones trigonométricas (es por eso que debes controlarlas). Cada caso será distinto.
El siguiente paso es operar con los términos que nos han quedado y aplicar fórmulas que nos permitan seguir agrupando o eliminando términos.
Lo verás todo mucho más claro si te lo explico con ejercicios resueltos, así que vamos a empezar simplificando la siguiente expresión:
En este caso, todas las razones que aparecen son senos y cosenos, por lo que en ese sentido no podemos hacer nada más.
Por tanto, seguimos con el siguiente paso y operamos, resolviendo los cuadrados de los paréntesis.
Para resolverlos, utilizamos los productos notables, más concretamente el cuadrado de una suma y el cuadrado de una diferencia, de las cuales te recuerdo sus fórmulas:
Aplicamos y desarrollamos cada fórmula de producto notable y nos queda:
Ahora vemos si podemos simplificar algo y efectivamente, si te das cuenta, el término de 2.seno.coseno, se anula, ya que aparece sumando y restando en la expresión, por lo que los eliminamos:
Y queda:
Llegados a este punto, para seguir simplificando entra el juego la ecuación fundamental de la trigonometría:
Te estarás preguntando: ¿Cómo se cuándo utilizar la ecuación fundamental de la trigonometría para simplificar expresiones trigonométricas?
Lo sé porque tengo senos y cosenos elevados al cuadrado. Cuando tengo senos y cosenos elevados al cuadrado, de la ecuación fundamental de la trigonometría puedo despejar cuando vale el seno al cuadrado, el coseno al cuadrado o saber que el seno al cuadrado más el coseno al cuadrado es igual a 1.
En nuestra expresión, tenemos la suma del seno al cuadrado más el coseno al cuadrado repetida dos veces, cuyo resultado es 1:
Por lo que nos queda:
Y la expresión trigonométrica inicial está totalmente simplificada.
Como ves, al aplicar la ecuación fundamental de la trigonometría, hemos simplificado la expresión en un paso. Es por eso, por lo que esta ecuación es tan importante a la hora de simplificar.
En los siguientes ejemplos, seguiremos utilizando esta ecuación, además de otras fórmulas.
Seguimos con otro ejemplo. Simplificar la siguiente expresión trigonométrica:
No olvides que el primer paso para simplificar una expresión trigonométrica es hacer que aparezcan solamente senos o cosenos.
En este caso, aparece la tangente, por lo que tenemos que sustituir la tangente por una expresión en la que aparezcan senos y cosenos, lo que conseguimos con la siguiente fórmula que relaciona estas razones:
Sustituimos la tangente por esta fórmula y queda:
Ya tenemos solamente senos y cosenos, por lo que el siguiente paso es simplificar operando. En este caso podemos operar en la fracción y queda:
Y por último, se ve claramente que sólo nos queda sumar ambos cosenos para acabar de simplificar la expresión:
Al seguir los pasos que te voy diciendo, en cada expresión habrá que seguir un camino distinto, que a veces se ve más claramente que otras y en función de las razones que tengamos, tendremos que ir utilizando las fórmulas que relacionan razones trigonométricas más apropiadas.
Seguimos con otro ejemplo más. Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:
Este caso es un poco diferente al resto, en el sentido de que siempre te digo que el primer paso es hacer que aparezcan solo senos o cosenos, pero aquí antes vamos a dar otro paso previo.
Siempre que tengas un seno, coseno o tangente al cuadrado menos 1, es decir, estas expresiones:
Debes desarrollarlo como el producto notable de suma por diferencia, que es igual a una diferencia de cuadrados:
En esta expresión, en el numerador tienes:
Que es lo mismo que si pusiera:
Ya que 1 al cuadrado es 1. Por tanto, al desarrollar el producto notable nos queda:
Realizamos este desarrollo dentro de nuestra expresión:
Y ahora, si te das cuenta, el denominador se anula con uno de los factores del numerador:
Quedando:
Y esta es la razón por la que hemos dado este paso previo, desarrollado el producto notable de la tangente cuadrado menos 1, como una suma por diferencia. Buscaba que se anulara el denominador.
Ahora, sí que aplicamos la fórmula de la tangente para que sólo nos aparezcan senos y cosenos en la expresión:
Sustituimos la tangente y nos queda:
Ahora vamos a operar. Multiplicamos el coseno por cada uno de los términos del paréntesis:
En el primer término, se anulan los cosenos:
Quedando:
Quedando la expresión trigonométrica simplificada.
Como ves, cada caso es diferente. Yo te he dado unos pasos a seguir, pero dependiendo de cada expresión trigonométrica y tu experiencia, te dirá qué fórmulas son las más apropiadas para utilizar.
En el Curso de Trigonometría I, tienes explicaciones mucho más al detalle y más ejercicios resueltos de este tipo, además de toda la información sobre las razones trigonométricas y la resolución de triángulos. Te lo recomiendo si necesitas profundizar más.
Ejercicios de demostrar si son ciertas las igualdades en expresiones trigonométricas
Además de simplificar expresiones trigonométricas, también existen ejercicios en los que te piden demostrar si la igualdad en la expresión trigonométrica es cierta.
Para realizar ejercicios de este tipo, debemos ir simplificando la expresión, por lo que el procedimiento es muy similar que en el apartado anterior.
Vamos a verlo con un par de ejemplos.
Demostrar si la siguiente igualdad en la expresión trigonométrica es cierta:
Empezamos igual que antes, haciendo que en la expresión aparezcan senos o cosenos.
Por tanto, mediante las fórmulas trigonométricas, vamos a ir sustituyendo y simplificando para conseguirlo. En primer lugar, tenemos una tangente, cuya fórmula es:
Que pasamos a sustituir en nuestra expresión:
Ahora vamos a simplificar el denominador de la primera ecuación. Ésta simplificación es muy utilizada para simplificar ecuaciones trigonométricas, por lo que es importante que la entiendas bien.
A partir de la ecuación fundamental de la trigonometría:
Podemos despejar bien el seno al cuadrado y queda:
O el coseno al cuadrado y queda:
En el denominador de la primera ecuación tienes:
Por lo que lo podemos sustituir por el seno al cuadrado y pasamos de tener dos términos a uno sólo, con el que después podremos operar:
Esta simplificación se utiliza mucho, por tanto, siempre que veas:
Ya sabes que los puedes sustituir por el seno cuadrado o por el coseno cuadrado.
Seguimos simplificando. Ahora vamos con la secante al cuadrado. Sabemos que:
En el Curso de Trigonometría I tienes todas las fórmulas de relaciones entre razones explicadas y recopildas y te explico cómo y cuándo aplicar cada una en tus expresiones trigonométricas.
Sustituimos la fórmula de la secante al cuadrado en nuestra expresión:
Y ya hemos reducido todos los términos a senos y cosenos. Ahora vamos a operar.
En primer lugar resolvemos el cuadrado:
Y ahora operamos en cada fracción, quedando:
Y vemos que efectivamente, tanto el primer miembro como el segundo miembro son iguales a 1, por lo que que la igualdad en este caso es cierta.
Vamos a ver otro ejemplo. Demostrar si la siguiente igualdad es cierta:
Vamos a demostrar que lo que pone en el primer miembro es igual que lo que pone en el segundo miembro:
En el segundo miembro sólo hay senos, por tanto, el coseno del primer miembro, debemos transformarlo en seno.
Como te he dicho antes, a partir de la ecuación fundamental de la trigonometría, podemos despejar el coseno al cuadrado:
El coseno al cuadrado como tal no aparece en nuestra expresión. Pero por las propiedades de las potencias, cuando una potencia está elevada a otra, los exponentes se multiplican.
Como queremos que aparezca coseno al cuadrado, lo podemos poner y luego elevado al cubo (que si multiplicas los exponentes volvemos a tener el 6 original):
Ahora sustituimos el coseno al cuadrado por:
Y nos queda:
Ahora, también según las propiedades de las potencias, cuando tenemos una multiplicación de dos potencias con la misma base, se suman los exponentes, por lo que el paréntesis lo podemos poner como una multiplicación de potencias, donde uno está elevado al cuadrado y otro a 1:
Ahora, el paréntesis elevado al cuadrado, es un producto notable:
Por lo que lo desarrollamos como tal:
Y ahora multiplicamos los dos paréntesis que nos quedan término a término:
Al operar y agrupar términos semejantes nos queda:
Que es la igualdad que queríamos demostrar:
Por lo tanto la igualdad es cierta.
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