Cómo simplificar expresiones trigonométricas. Ejercicios resueltos.

Cómo simplificar expresiones trigonométricas paso a paso. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar cómo simplificar las expresiones trigonométricas, paso a paso, con ejercicios resueltos, que también te servirán para demostrar si se cumple la igualdad en ciertas expresiones.

Para ello es necesario que conozcas y que domines tanto la ecuación fundamental de la trigonometría, como otras fórmulas donde se relacionan razones trigonométricas, además de los productos notables. Lo iremos viendo a lo largo de esta lección.

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Ejercicios de simplificar expresiones trigonométricas

Como regla general, el primer paso para simplificar una expresión trigonométrica es que aparezcan solo senos y cosenos. Esto lo consigues utilizando las fórmulas que relacionan las distintas razones trigonométricas (es por eso que debes controlarlas). Cada caso será distinto.

El siguiente paso es operar con los términos que nos han quedado y aplicar fórmulas que nos permitan seguir agrupando o eliminando términos.

Lo verás todo mucho más claro si te lo explico con ejercicios resueltos, así que vamos a empezar simplificando la siguiente expresión:

aplica la identidad fundamental de la trigonometria y simplifica las expresiones

En este caso, todas las razones que aparecen son senos y cosenos, por lo que en ese sentido no podemos hacer nada más.

Por tanto, seguimos con el siguiente paso y operamos, resolviendo los cuadrados de los paréntesis.

Para resolverlos, utilizamos los productos notables, más concretamente el cuadrado de una suma y el cuadrado de una diferencia, de las cuales te recuerdo sus fórmulas:
simplificacion de expresiones trigonometricas

Aplicamos y desarrollamos cada fórmula de producto notable y nos queda:

identidades trigonometricas ejercicios resueltos paso a paso

Ahora vemos si podemos simplificar algo y efectivamente, si te das cuenta, el término de 2.seno.coseno, se anula, ya que aparece sumando y restando en la expresión, por lo que los eliminamos:
simplificar expresiones trigonometricasY queda:simplificacion de identidades trigonometricas

Llegados a este punto, para seguir simplificando entra el juego la ecuación fundamental de la trigonometría:

simplificar expresiones trigonometricas ejercicios resueltos

Te estarás preguntando: ¿Cómo se cuándo utilizar la ecuación fundamental de la trigonometría para simplificar expresiones trigonométricas?

Lo sé porque tengo senos y cosenos elevados al cuadrado. Cuando tengo senos y cosenos elevados al cuadrado, de la ecuación fundamental de la trigonometría puedo despejar cuando vale el seno al cuadrado, el coseno al cuadrado o saber que el seno al cuadrado más el coseno al cuadrado es igual a 1.

En nuestra expresión, tenemos la suma del seno al cuadrado más el coseno al cuadrado repetida dos veces, cuyo resultado es 1:

simplificar identidades trigonometricas

Por lo que nos queda:

expresiones trigonometricas

Y la expresión trigonométrica inicial está totalmente simplificada.

Como ves, al aplicar la ecuación fundamental de la trigonometría, hemos simplificado la expresión en un paso. Es por eso, por lo que esta ecuación es tan importante a la hora de simplificar.

En los siguientes ejemplos, seguiremos utilizando esta ecuación, además de otras fórmulas.

Seguimos con otro ejemplo. Simplificar la siguiente expresión trigonométrica:

simplificacion de funciones trigonometricas

No olvides que el primer paso para simplificar una expresión trigonométrica es hacer que aparezcan solamente senos o cosenos.

En este caso, aparece la tangente, por lo que tenemos que sustituir la tangente por una expresión en la que aparezcan senos y cosenos, lo que conseguimos con la siguiente fórmula que relaciona estas razones:

simplificar razones trigonometricas

Sustituimos la tangente por esta fórmula y queda:
simplificar funciones trigonometricasYa tenemos solamente senos y cosenos, por lo que el siguiente paso es simplificar operando. En este caso podemos operar en la fracción y queda:

simplificación de expresiones trigonométricas

Y por último, se ve claramente que sólo nos queda sumar ambos cosenos para acabar de simplificar la expresión:

como simplificar expresiones trigonometricas

Al seguir los pasos que te voy diciendo, en cada expresión habrá que seguir un camino distinto, que a veces se ve más claramente que otras y en función de las razones que tengamos, tendremos que ir utilizando las fórmulas que relacionan razones trigonométricas más apropiadas.

Seguimos con otro ejemplo más. Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:

ejercicios de funciones trigonometricas resueltos paso a paso

Este caso es un poco diferente al resto, en el sentido de que siempre te digo que el primer paso es hacer que aparezcan solo senos o cosenos, pero aquí antes vamos a dar otro paso previo.

Siempre que tengas un seno, coseno o tangente al cuadrado menos 1, es decir, estas expresiones:

simplificacion de expresiones trigonometricas ejercicios resueltos

Debes desarrollarlo como el producto notable de suma por diferencia, que es igual a una diferencia de cuadrados:

simplificaciones trigonometricas

En esta expresión, en el numerador tienes:

simplificar ecuaciones trigonometricas

Que es lo mismo que si pusiera:

simplificación de identidades trigonometricas

Ya que 1 al cuadrado es 1. Por tanto, al desarrollar el producto notable nos queda:

expresiones trigonometricas ejercicios resueltos

Realizamos este desarrollo dentro de nuestra expresión:

simplificar trigonometria

Y ahora, si te das cuenta, el denominador se anula con uno de los factores del numerador:

identidades trigonometricas paso a paso

Quedando:
como simplificar identidades trigonometricas
Y esta es la razón por la que hemos dado este paso previo, desarrollado el producto notable de la tangente cuadrado menos 1, como una suma por diferencia. Buscaba que se anulara el denominador.

Ahora, sí que aplicamos la fórmula de la tangente para que sólo nos aparezcan senos y cosenos en la expresión:

simplificar fracciones trigonometricas

Sustituimos la tangente y nos queda:

simplificacion de razones trigonometricas

Ahora vamos a operar. Multiplicamos el coseno por cada uno de los términos del paréntesis:

simplificar senos y cosenos

En el primer término, se anulan los cosenos:

expresiones trigonometricas ejercicios

Quedando:

identidades trigonometricas ejercicios

Quedando la expresión trigonométrica simplificada.

Como ves, cada caso es diferente. Yo te he dado unos pasos a seguir, pero dependiendo de cada expresión trigonométrica y tu experiencia, te dirá qué fórmulas son las más apropiadas para utilizar.

En el Curso de Trigonometría I, tienes explicaciones mucho más al detalle y más ejercicios resueltos de este tipo, además de toda la información sobre las razones trigonométricas y la resolución de triángulos. Te lo recomiendo si necesitas profundizar más.

Ejercicios de demostrar si son ciertas las igualdades en expresiones trigonométricas

Además de simplificar expresiones trigonométricas, también existen ejercicios en los que te piden demostrar si la igualdad en la expresión trigonométrica es cierta.

Para realizar ejercicios de este tipo, debemos ir simplificando la expresión, por lo que el procedimiento es muy similar que en el apartado anterior.

Vamos a verlo con un par de ejemplos.

Demostrar si la siguiente igualdad en la expresión trigonométrica es cierta:

como simplificar funciones trigonometricas

Empezamos igual que antes, haciendo que en la expresión aparezcan senos o cosenos.

Por tanto, mediante las fórmulas trigonométricas, vamos a ir sustituyendo y simplificando para conseguirlo. En primer lugar, tenemos una tangente, cuya fórmula es:

expresiones trigonométricas

Que pasamos a sustituir en nuestra expresión:

trigonometria simplificar

Ahora vamos a simplificar el denominador de la primera ecuación. Ésta simplificación es muy utilizada para simplificar ecuaciones trigonométricas, por lo que es importante que la entiendas bien.

A partir de la ecuación fundamental de la trigonometría:

factorizar las siguientes expresiones trigonometricas

Podemos despejar bien el seno al cuadrado y queda:

como simplificar

O el coseno al cuadrado y queda:

identidades trigonometricas simplificacion

En el denominador de la primera ecuación tienes:

ecuaciones trigonometricas paso a paso

Por lo que lo podemos sustituir por el seno al cuadrado y pasamos de tener dos términos a uno sólo, con el que después podremos operar:

simplificacion trigonometrica

Esta simplificación se utiliza mucho, por tanto, siempre que veas:

como resolver identidades trigonometricas paso a paso

Ya sabes que los puedes sustituir por el seno cuadrado o por el coseno cuadrado.

Seguimos simplificando. Ahora vamos con la secante al cuadrado. Sabemos que:

simplificacion de identidades trigonometricas ejercicios

En el Curso de Trigonometría I tienes todas las fórmulas de relaciones entre razones explicadas y recopildas y te explico cómo y cuándo aplicar cada una en tus expresiones trigonométricas.

Sustituimos la fórmula de la secante al cuadrado en nuestra expresión:

ejercicios de identidades trigonometricas resueltos paso a paso

Y ya hemos reducido todos los términos a senos y cosenos. Ahora vamos a operar.

En primer lugar resolvemos el cuadrado:

reducir igualdades a su minima expresion

Y ahora operamos en cada fracción, quedando:

simplificar expresiones trigonometricas 4o eso

Y vemos que efectivamente, tanto el primer miembro como el segundo miembro son iguales a 1, por lo que que la igualdad en este caso es cierta.

Vamos a ver otro ejemplo. Demostrar si la siguiente igualdad es cierta:

ejercicios de simplificacion de identidades trigonometricas

Vamos a demostrar que lo que pone en el primer miembro es igual que lo que pone en el segundo miembro:

reduccion de funciones trigonometricas

En el segundo miembro sólo hay senos, por tanto, el coseno del primer miembro, debemos transformarlo en seno.

Como te he dicho antes, a partir de la ecuación fundamental de la trigonometría, podemos despejar el coseno al cuadrado:

simplificar expresiones trigonometricas online

El coseno al cuadrado como tal no aparece en nuestra expresión. Pero por las propiedades de las potencias, cuando una potencia está elevada a otra, los exponentes se multiplican.

Como queremos que aparezca coseno al cuadrado, lo podemos poner y luego elevado al cubo (que si multiplicas los exponentes volvemos a tener el 6 original):

como simplificar expresiones

Ahora sustituimos el coseno al cuadrado por:

ejercicios de trigonometria resueltos paso a paso

Y nos queda:

identidades trigonometricas ejercicios resueltos explicados

 

Ahora, también según las propiedades de las potencias, cuando tenemos una multiplicación de dos potencias con la misma base, se suman los exponentes, por lo que el paréntesis lo podemos poner como una multiplicación de potencias, donde uno está elevado al cuadrado y otro a 1:

ecuaciones trigonometricas ejercicios

Ahora, el paréntesis elevado al cuadrado, es un producto notable:

cómo simplificar

Por lo que lo desarrollamos como tal:

expresión trigonométrica

Y ahora multiplicamos los dos paréntesis que nos quedan término a término:

relaciones trigonometricas ejercicios

Al operar y agrupar términos semejantes nos queda:

simplificar expresiones trigonometricas ejercicios resueltos pdf

Que es la igualdad que queríamos demostrar:

reducir funciones trigonometricas

Por lo tanto la igualdad es cierta.

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