El mundo se puede comprender gracias a las matemáticas. En este artículo quiero hablar sobre una cuestión: ¿Por qué se pueden usar las matemáticas para describir el mundo?, o lo dicho de otra forma, ¿por qué es posible aplicar las matemáticas a aspectos del mundo real?.
De hecho hay frases de grandes matemáticos de la historia, relacionando las matemáticas con diferentes situaciones del mundo real.
¿Qué son las matemática aplicadas?
Antes de empezar, deberíamos tener claro lo que entendemos por matemáticas aplicadas y repasar la larga historia de la filosofía general de las matemáticas.
Aplicar las matemáticas significa utilizar una técnica matemática para obtener una respuesta a una pregunta planteada desde fuera de las matemáticas, es decir, utilizar las matemáticas para responder cuestiones que nada tienen que ver con ellas.
La pregunta de por qué las matemáticas son aplicables es más importante que cualquier otra pregunta sobre la naturaleza de las matemáticas.
La larga historia de las matemáticas generalmente carece de una distinción entre matemáticas puras y matemáticas aplicadas. Sin embargo, en la era moderna de las matemáticas, durante los últimos dos siglos, ha habido un enfoque casi exclusivo en una filosofía de las matemáticas puras. En particular, se ha hecho hincapié en los denominados fundamentos de las matemáticas.
Los matemáticos interesados en las fundamentos se agrupan en cuatro grupos:
Los formalistas, que ven las matemáticas como fundadas en una combinación de teoría y lógica establecidas, como un conjunto de símbolos de acuerdo a ciertas reglas prescritas.
Los lógicos, que ven las matemáticas como una extensión de la lógica.
Los intuicionistas que creen que las matemáticas son enteramente un producto de la mente humana, que postulan que sólo son capaces de captar el infinito como una extensión de un proceso algorítmico de tipo uno, dos y tres. Como resultado, sólo admiten operaciones enumerables en sus pruebas, es decir, operaciones que pueden ser descritas usando los números naturales.
Finalmente, los platonistas, miembros de los más antiguos de los cuatro campos, creen en una realidad externa o en la existencia de números y otros objetos matemáticos. Creen las matemáticas existen sin la mente humana, posiblemente sin el universo físico, pero existe un misterioso vínculo entre el mundo mental de los humanos y el reino platónico de las matemáticas.
Se discute cuál de estas cuatro alternativas sirve como fundamento de las matemáticas. Puede parecer que tales discusiones enrarecidas no tienen nada que ver con la cuestión de la aplicación de las matemáticas, pero se ha argumentado que esta incertidumbre sobre los fundamentos ha influido en la práctica misma de aplicar las matemáticas.
Afortunadamente, las matemáticas están aplican en la actualidad a la filosofía, la ciencia política, la ética y la estética, pero hemos aprendido una importante lección histórica: existe una dimensión sociológica sensible a los problemas matemáticos.
¿Qué dice la aplicabilidad sobre los fundamentos de las matemáticas?
El siguiente paso lógico para el matemático que se moleste en pensar sobre la aplicabilidad de las matemáticas, sería preguntar lo que cada uno de los cuatro puntos de vista fundamentales tiene que decir sobre nuestra gran pregunta.
Pero le vamos a dar la vuelta a la pregunta: ¿qué tiene que decir la aplicabilidad de las matemáticas sobre los fundamentos de las matemáticas?
Si las matemáticas no son otra cosa que una baraja de símbolos matemáticos en el juego multijugador más largo del mundo, ¿por qué describir el mundo? ¿Qué privilegios tiene el juego de las matemáticas para describir el mundo en lugar de cualquier otro juego?
Recuerda, el formalista debe responder desde dentro de la visión formalista, por lo que no se permite apelar a un significado más profundo de las matemáticas o una conexión oculta con el mundo físico.
Por razones similares, los lógicos se quedan aturdidos, pues si dicen «bueno, tal vez el universo es una encarnación de la lógica», entonces están asumiendo tácitamente la existencia de un reino platónico de la lógic, que puede ser encarnado. Esto convierte la lógiaca en una mera rama del platonismo que, como veremos más adelante, viene con sus propios problemas graves.
Así, tanto para los formalistas como para los lógicos no platonistas, la existencia misma de las matemáticas aplicables plantea un problema que aparentemente es fatal para su posición.
Ambas perspectivas resultaron desfavorables.
El tercer fundamento propuesto, el intuicionismo, nunca obtuvo mucho apoyo en primer lugar. Lo que se ve como un juego de herramientas muy restringido para las pruebas y una extraña noción de limbo, en el que una afirmación no es ni verdadera ni falsa hasta que una prueba ha sido construida de una manera u otra, hace que este punto de vista no resulte atractivo para muchos matemáticos.
Sin embargo, la idea central de la naturaleza enumerable de los procesos en el universo parece ser deducida de la realidad. El mundo físico, al menos como lo percibimos los humanos, parece consistir en cosas contadas y cualquier infinito que podamos encontrar es el resultado de extender un proceso de conteo.
De esta manera, tal vez el intuicionismo se deriva de la realidad, del mundo físico aparentemente infinitamente infinito. Parece que el intuicionismo ofrece una respuesta clara a la cuestión de la aplicabilidad de las matemáticas: es aplicable porque se deriva del mundo.
Sin embargo, esta respuesta puede desmoronarse al examinarla más de cerca. Para empezar, hay mucho en la física matemática moderna, incluyendo por ejemplo la teoría cuántica, que requiere nociones del infinito más allá de lo enumerable. Por lo tanto, este aspecto puede estar para siempre más allá del poder explicativo de las matemáticas intuicionistas.
Hay una idea moderna que podría beneficiarse de la lógica finita de los intuicionistas: la llamada física digital.
Sostiene que el Universo es semejante a un ordenador gigante. Las partículas fundamentales, por ejemplo, están descritas por el estado cuántico en el que se encuentran en un momento dado, del mismo modo que el bit de la informática se define por su valor 0 o 1.
Al igual que un ordenador, el universo está basado en información sobre estados y su evolución podría ser simulada teóricamente por una computadora gigante.
Pero esta visión del mundo también falla en ser verdaderamente intuicionista y parece esconder algunas ideas platónicas. La parte de la teoría de la información aparentemente postula una existencia platónica de información de la cual se deriva el mundo físico.
Pero más fundamentalmente, el intuicionismo no tiene respuesta a la pregunta de por qué las matemáticas no intuicionistas son aplicables. Puede muy bien ser que un teorema matemático no intuicionista sólo sea aplicable al mundo natural cuando también existe una prueba intuicionista del mismo teorema, pero esto no se ha establecido.
Además, aunque las matemáticas intuicionistas puedan parecer como si se derivaran del mundo real, no está claro que los objetos de la mente humana necesiten representar fielmente los objetos del universo físico. Las representaciones mentales han sido seleccionadas por más tiempo evolutivo, no por su fidelidad, sino por la ventaja que dieron a nuestros antepasados en sus luchas por sobrevivir y aparearse.
Creado en la imagen de las matemáticas
El formalismo y el logicismo no han respondido a nuestra gran pregunta. El jurado no está de acuerdo en si el inuitionismo podría hacerlo, pero quedan enormes dificultades conceptuales. ¿Qué hay, entonces, del platonismo?
Los platonistas creen que el mundo físico es una sombra imperfecta de un reino de objetos matemáticos (y posiblemente de nociones como la verdad y la belleza también). El mundo físico emerge, de alguna manera, de este reino platónico, está arraigado en él, y por lo tanto los objetos y las relaciones entre objetos del mundo ensombrecen a los del reino platónico.
El hecho de que el mundo sea descrito por las matemáticas deja entonces de ser un misterio, ya que se ha convertido en un axioma: el mundo está arraigado en un reino matemático.
Pero entonces surgen problemas aún mayores: ¿por qué debería el reino físico emerger y estar arraigado en el reino platónico? ¿Por qué debería el reino mental emerger de lo físico? ¿Por qué debería el reino mental tener alguna conexión directa con lo platónico? ¿Y de qué manera alguna de estas preguntas difiere de aquellas que rodean los antiguos mitos del surgimiento del mundo, de los cuerpos de dioses o titanes muertos, la naturaleza búdica de todos los objetos naturales, o la noción abrahámica de que somos «creados a imagen de Dios»?
De hecho, la creencia de que vivimos en un universo divino y participamos en un estudio de la mente divina mediante el estudio de las matemáticas y la ciencia ha sido posiblemente la motivación más larga para el pensamiento racional, desde Pitágoras, pasando por Newton, hasta muchos científicos en la actualidad.
«Dios», en este sentido, no parece ser ni un objeto en el mundo espacio-tiempo, ni la suma total de objetos en ese mundo físico, ni un elemento en el mundo platónico. Más bien, Dios es algo más cercano a la totalidad del reino platónico.
El icono secular Galileo creía que el «libro del universo» estaba escrito en el «lenguaje» de las matemáticas (que no se refiere al lenguaje algebraico) -una declaración platónica que suplicaba una respuesta (si no la pregunta) si alguna vez hubo una. Incluso los científicos matemáticos no religiosos de hoy en día reportan regularmente sentimientos de sobrecogimiento y se preguntan por sus exploraciones de lo que se siente como un reino platónico – no inventan sus matemáticas, las descubren.
Por tanto, llegamos a la deprimente conclusión de que ninguno de los cuatro fundamentos matemáticos propuestos puede hacer frente inequívocamente a la cuestión de la aplicabilidad de las matemáticas.