A continuación, te voy a explicar cómo multiplicar polinomios paso a paso. Te explicaré la multiplicación de polinomios desde el principio, desde lo más básico a lo más complicado.
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Cómo Multiplicar un Número por un Monomio
Este es el caso más simple. Se procede igual que para multiplicar dos términos, pero en este caso, uno de los dos términos sólo es un número.
Por tanto, se multiplican los números y las variables del monomio se quedan tal y como están en el monomio.
Por ejemplo:
1. Se multiplican los números: 
2. Las variables y los exponentes del monomio se quedan igual:
Y ya tenemos el resultado final.
Cómo Multiplicar un Monomio por un Monomio
Recordamos que un monomio es un polinomio de un solo término.
Por eso, multiplicar dos monomios, es lo mismo que multiplicar dos términos y se procede igual que hemos explicado anteriormente para multiplicar dos términos.
Como ya sabes, los términos de un polinomio se componen de un coeficiente (número y signo) y de la parte literal (variables elevadas a sus exponentes).
Para multiplicar dos términos, se sigue este procedimiento:
1. Se multiplican los coeficientes de cada término, igual que si se tratara de multiplicar números enteros, teniendo en cuenta la regla de los signos.
2. Para multiplicar la parte literal de cada término, hay que tratarlas como una multiplicación de potencias con distintas bases: para las variables que sean iguales, se mantiene la base y se suman los exponentes y las que no sean iguales se quedan tal y como están en el resultado. Vamos a verlo más despacio como sería el procedimiento con un ejemplo:
En esta multiplicación de potencias tenemos dos bases x e y:
Ahora para las potencias que tengan la misma base, se suman los exponentes: x por un lado e y por otro lado:
Vamos a ver otro ejemplo de cómo multiplicar los términos de un polinomio, con términos que también tengan coeficiente:
En primer lugar, multiplicamos los coeficientes, igual que se multiplican los números enteros:
Ahora vamos con la parte literal. En este caso, tenemos 3 bases: a, b y c. (Aunque las variables no aparezcan elevadas a ningún exponente, en realidad su exponente es 1). Por tanto, para las bases que sean iguales, se suman sus exponentes, igual que en el ejemplo anterior:
Cómo Multiplicar un Número por un Polinomio
Para multiplicar un número por un polinomio, se multiplica el número por cada uno de los términos del polinomio.
Veamos un ejemplo paso a paso:
1. Se multiplica el número por el primer término del polinomio:
2. Se multiplica el número por el segundo término del polinomio:
3. Se multiplica el número por el tercer término del polinomio:
Si tuviéramos más términos, habría que seguir así sucesivamente.
Signo Menos Delante de un Polinomio entre Paréntesis
Un caso particular de un número por un polinomio es el de un signo menos delante de un polinomio entre paréntesis.
Es equivalente a multiplicar por -1:
Como puedes observar, el signo menos cambia de signo los términos del polinomio original. Ésta es una buena forma de acordarse a la hora de eliminar paréntesis cuando estemos operando.
Cómo Multiplicar un Monomio por un Polinomio
En este caso, tenemos que multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio, igual que hemos hecho antes. Es decir, es ir multiplicando monomio por monomio repetidas veces.
Por ejemplo:
1. Se multiplica el monomio por el primer término del polinomio:
2. Se multiplica el monomio por el segundo término del polinomio:
3. Se multiplica el monomio por el tercer término del polinomio:
Multiplicación de Polinomios. Polinomio por Polinomio
Ya hemos llegado al caso más complicado para aprender cómo se multiplican polinomios. Aquí tienes que multiplicar cada término de un polinomio por todos los términos del otro polinomio, es decir:
- Se multiplica el primer término de un polinomio, por todos los términos del otro polinomio
- Se multiplica el segundo término de un polinomio, por todos los términos del otro polinomio
- Se multiplica el tercer término de un polinomio, por todos los términos del otro polinomio
- Y así sucesivamente…
- Se reagrupan términos, sumando y restando los términos semejantes
Vamos a ver algunos ejemplos:
1. Multiplicamos el primer término del primer polinomio, por todos los términos del segundo polinomio:
2. Ahora, multiplicamos el segundo término del primer polinomio, por todos los términos del segundo polinomio:
3. Agrupamos los términos semejantes:
Cuando multiplicamos dos binomios iguales (que es el cuadrado de un binomio), en vez de desarrollarlos mediante la multiplicación, se utilizan para ahorrar tiempo las fórmulas de productos notables y llegar al resultado más directamente. Por ejemplo:
(a+b)(a+b) = (a+b)² = a² + 2ab + b²
Ya para terminar, veamos el ejemplo de multiplicar dos polinomios con tres términos cada uno:
1. Multiplicamos el primer término del primer polinomio por todos los términos del otro polinomio:
2. Multiplicamos el segundo término del primer polinomio por todos los términos del otro polinomio:
3. Multiplicamos el tercer término del primer polinomio por todos los términos del otro polinomio:
4. Agrupamos términos semejantes
Observa como el término con x elevada a 4 a desaparecido, porque los dos términos que aparecía eran iguales pero de signo contrario, por tanto se anulan.
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