Cómo calcular razones trigonométricas a partir de una de ellas. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar cómo calcular las razones trigonométricas, a partir de una de ellas y para eso debes conocer previamente las fórmulas que relacionan las distintas razones trigonométricas: la relación fundamental de la trigonometría y otras relaciones trigonométricas de uso frecuente.

Veremos cómo aplicarlas paso por paso con ejercicios resueltos.

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Relación fundamental de la trigonometría

Para cualquier ángulo, los segmentos trigonométricos que definen el seno y el coseno, forman un triángulo rectángulo con el radio, que tiene longitud 1:

Por lo que aplicando el teorema de Pitágoras en este triángulo, tenemos la siguiente expresión:

Que se conoce como relación fundamental de trigonometría y relaciona al seno y al coseno en una misma fórmula.

Relaciones trigonométricas de uso frecuente

Vamos a ver ahora otras fórmulas que relacionan a las razones trigonométricas entre sí.

No me voy a detener en demostrar cada una de ellas, ya que para mí es más importante que sepas aplicarlas a que sepas demostrarlas. Por tanto te recomiendo que te las aprendas y las tengas presentes para resolver tus ejercicios.

La primera es esta, que relaciona la tangente con el seno y el coseno:

Sabemos también que la tangente es la inversa de la cotangente (y viceversa), por lo que están relacionadas mediante esta fórmula:

Y por consiguiente, la cotangente, también la podemos expresar en función del seno y del coseno, invirtiendo la fórmula de la tangente vista anteriormente:

Por otro lado, si dividimos la relación fundamental de la trigonometría entre el coseno al cuadrado, nos queda esta relación:

Y esta otra si dividimos la relación fundamental entre el seno al cuadrado:

Tanto la relación fundamental, como estas fórmulas, se utilizan para resolver ecuaciones trigonométricas o para calcular el valor de razones trigonométricas conociendo el valor de otras, sin usar sus razones trigonométricas inversas, que es justo lo que veremos a continuación.

En función de la razón que conozcamos y la razón que queramos calcular, tendremos que aplicar la fórmula que más nos convenga, ya que cada una de ellas relaciona razones trigonométricas distintas.

Lo iremos viendo paso a paso.

Ejercicios resueltos sobre cómo calcular las razones trigonométricas a partir de una de ellas

Vamos a resolver un par de ejercicios sobre cómo calcular el resto de razones trigonométricas, conociendo tan sólo una de ellas.

Ejercicio resuelto 1

Sabiendo que el sen α 1/3 y que α está entre 0º y 90º, calcular el resto de razones trigonométricas del ángulo α.

Tenemos que:

Vamos a empezar aplicando la relación fundamental, ya que relaciona el coseno y el seno:

Como ya conocemos el valor del seno, podemos obtener el valor del coseno, despejándolo de esta fórmula. Es la única relación donde podemos despejar el coseno. Por tanto, sustituimos el seno por su valor:

Ahora sólo queda operar y despejar el coseno. Para ello despejamos el coseno al cuadrado:

Resolvemos el paréntesis:

Operamos en el segundo miembro:

Pasamos el cuadrado del coseno al segundo miembro como raíz y operamos:

Nos ha quedado un valor de seno positivo.

El enunciado nos dice que el ángulo α está entre 0º y 90º. Tal y como vemos en la lección sobre las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, el ángulo se encuentra en el primer cuadrante:

Donde el seno y el coseno son positivos, por tanto, el valor obtenido es correcto.

Como ya conocemos los valores del seno y del coseno, para calcular la tangente utilizamos esta fórmula:

Sustituimos el seno y el coseno por sus valores y operamos:

Y ya hemos calculado las tres razones trigonométricas principales.

Vamos a ver otro ejercicio.

Ejercicio resuelto 2

Sabiendo que la tg α=3/4 y que α está entre 180º y 270º, calcular el resto de razones trigonométricas del ángulo α.

Nos dan como dato:

En principio, lo más inmediato que se te puede ocurrir es utilizar la fórmula de la tangente:

Y como el numerador es el sen α y el denominador es el cos α, podrías pensar que:

Bien, pues ESTO NO ES CORRECTO. El seno y el coseno pueden valer como máximo 1 y como mínimo -1 y en este caso valen 3 y 4 respectivamente, luego ESTA SOLUCIÓN NO ES CORRECTA.

¿Entonces cómo lo hacemos?

Pues entra en juego de nuevo la relación fundamental de la trigonometría:

Además de que el seno y el coseno pueden valer entre -1 y 1, deben cumplir la relación fundamental.

Por tanto, igualando la fórmula de la tangente:

con el dato que nos da el enunciado, tenemos:

De aquí despejamos el seno, pasando el coseno multiplicando al segundo miembro de la ecuación:

Y esta expresión del seno lo sustituimos en la relación fundamental:

Nos ha quedado una fórmula que sólo tiene el coseno como incógnita. Por tanto, vamos a despejar el coseno.

En primer lugar, resolvemos el paréntesis:

Sacamos factor común al coseno cuadrado en el primer miembro:

Operamos dentro del paréntesis:

Y dejamos al coseno cuadrado sólo en el primer miembro. El 16 que está dividiendo, pasa multiplicando al segundo miembro y el 25 que está multiplicando, pasa dividiendo:

Ahora pasamos el cuadrado del coseno como raíz al segundo miembro:

Y resolvemos la raíz:

Nos ha quedado un valor positivo del coseno.

El enunciado nos dice que α está entre 180º y 270º. Tal y como vemos en la lección sobre las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, el ángulo se encuentra en el tercer cuadrante:

Y por tanto, el coseno debe ser negativo, por lo que:

En la expresión donde despejamos el seno:

Sustituimos el valor del coseno que acabamos de calcular:

Y operamos, obteniendo el valor del seno:

Que es negativo y por tanto, corresponde al signo que debe tener el seno en el tercer cuadrante.

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